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一、數(shù)制與碼制

1- 基本概念
不同的數(shù)碼可以用來表示數(shù)量的不同大小。用數(shù)碼表示數(shù)量大小時，僅用一位數(shù)碼往往不夠用，因此經(jīng)常需要用進(jìn)位計數(shù)制的方法組成多位數(shù)碼使用。
把多位數(shù)碼中每一位的構(gòu)成方法以及從低位到高位的進(jìn)位規(guī)則稱為數(shù)制。在數(shù)字電路中經(jīng)常使用的計數(shù)進(jìn)制有十進(jìn)制、二進(jìn)制和十六進(jìn)制。有時也用到八進(jìn)制。
不同的數(shù)碼不僅可以用來表示數(shù)量的不同大小，而且可以用來表示不同的事物或事物的不同狀態(tài)。在用于表示不同事物的情況下，這些數(shù)碼已經(jīng)不再具有表示數(shù)量大小的含義了，它們只是不同事物的代號而已。這些數(shù)碼稱為代碼。
為了便于記憶和查找，在編制代碼時總要遵循一定的規(guī)則，這些規(guī)則就稱為碼制。

2- 幾種常用的數(shù)制



4. 十六進(jìn)制數(shù)(Hexadecimal)
十六進(jìn)制數(shù)的進(jìn)位規(guī)則是“逢十六進(jìn)一” ，其進(jìn)位基數(shù)R=16，采用的16個數(shù)碼為0、 1、 2、…、 9、A、 B、 C、 D、 E、 F。 符號A~F分別代表十進(jìn)制數(shù)的10~15。每位的權(quán)是16的冪。
任何一個十六進(jìn)制數(shù)， 可以表示為：
  

5. 不同進(jìn)制數(shù)的對照表

3- 不同數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換
1. 其它進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制
方法是：將其它進(jìn)制按權(quán)位展開，然后各項相加，就得到相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。
例1： N=（10110.101）B=（？）D
按權(quán)展開N=1*24+0*23+1*22+1*21+0*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3
         =16+4+2+0.5+0.125
=（22.625）D
例2： N=（532.8）H=（？）D
按權(quán)展開N=5*162+3*161+2*160+8*16-1
         =1280+48+2+0.5
=（1330.5）D
2. 將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成其它進(jìn)制  
方法是：將十進(jìn)制數(shù)分整數(shù)部分和小數(shù)部分分別計算。
整數(shù)部分：（基數(shù)除法）
把我們要轉(zhuǎn)換的數(shù)除以新的進(jìn)制的基數(shù)，把余數(shù)作為新進(jìn)制的最低位；
把上一次得的商在除以新的進(jìn)制基數(shù)，把余數(shù)作為新進(jìn)制的次低位；
繼續(xù)上一步,直到最后的商為零,這時的余數(shù)就是新進(jìn)制的最高位。


注意：小數(shù)部分取整的過程，不一定能使最后乘積為0，因此轉(zhuǎn)換值存在誤差。通常在二進(jìn)制小數(shù)的精度已達(dá)到預(yù)定的要求時，運算便可結(jié)束。


3. 二進(jìn)制與八進(jìn)制、十六進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換
八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)的基數(shù)分別為8=23，16=24， 所以三位二進(jìn)制數(shù)恰好相當(dāng)一位八進(jìn)制數(shù)，四位二進(jìn)制數(shù)相當(dāng)一位十六進(jìn)制數(shù)，它們之間的相互轉(zhuǎn)換是很方便的。
二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)的方法是從小數(shù)點開始，分別向左、向右，將二進(jìn)制數(shù)按每三位一組分組(不足三位的補(bǔ)0)，然后寫出每一組等值的八進(jìn)制數(shù)。
二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)的方法和二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換相似，從小數(shù)點開始分別向左、向右將二進(jìn)制數(shù)按每四位一組分組(不足四位補(bǔ)0)，然后寫出每一組等值的十六進(jìn)制數(shù)。
例：

4- 二進(jìn)制算術(shù)運算
當(dāng)兩個數(shù)碼分別表示兩個數(shù)量大小時，它們可以進(jìn)行數(shù)量間的加、減、乘、除等運算。這種運算稱為算術(shù)運算。
因電腦和數(shù)字設(shè)備普遍采用二進(jìn)制運算，本節(jié)只探討二進(jìn)制的算術(shù)運算。
1. 二進(jìn)制算術(shù)運算的特點
二進(jìn)制算術(shù)運算和十進(jìn)制算術(shù)運算規(guī)則基本相同，區(qū)別是“逢二進(jìn)一”。


由上圖可見二進(jìn)制的乘法和除法有以下特點：
二進(jìn)制的乘法運算可以通過若干次的“被乘數(shù)（或0）左移1位”和“被乘數(shù)（或0）與部分積相加”這兩種操作完成；
二進(jìn)制數(shù)的除法運算能通過若干次的“除數(shù)右移1位”和“從被除數(shù)或余數(shù)中減去除數(shù)”這兩種操作完成。
如果我們能設(shè)法將減法操作轉(zhuǎn)化為某種形式的加法操作，那么加、減、乘、除運算就全部可以用"移位"和"相加"兩種操作實現(xiàn)了。為了解決這個問題，計算機(jī)引入了原碼、反碼和補(bǔ)碼的概念。
2. 原碼、反碼、補(bǔ)碼和補(bǔ)碼運算
二進(jìn)制數(shù)的正、負(fù)表示方法通常采用的是在二進(jìn)制數(shù)的前面增加一位符號位。這種形式的數(shù)稱為原碼。符號位為0表示這個數(shù)是正數(shù)，符號位為1表示這個數(shù)是負(fù)數(shù)。其余各位表示數(shù)值。
在做減法運算時，如果兩個數(shù)是用原碼表示的，則首先需要比較兩數(shù)絕對值的大小，然后以絕對值大的一個作為被減數(shù)、絕對值小的一個作為減數(shù)，求出差值，并以絕對值大的一個數(shù)的符號作為差值的符號。
這個操作過程比較麻煩，而且需要使用數(shù)值比較電路和減法運算電路。如果用兩數(shù)的補(bǔ)碼相加代替上述減法運算，則計算過程中就無需使用數(shù)值比較電路和減法運算電路了，從而使減法運算器的電路結(jié)構(gòu)大為簡化。
補(bǔ)碼的原理可參考其他電子書籍，正負(fù)數(shù)的反碼和補(bǔ)碼的計算原則如下：
反碼：正數(shù)的反碼等于原碼，負(fù)數(shù)的反碼：符號位不變，以下各位按位取反。
補(bǔ)碼：正數(shù)的補(bǔ)碼等于原碼，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼：符號位不變，以下各位按位取反，最后加1。一個數(shù)補(bǔ)碼的補(bǔ)碼即為其原碼。
例：帶符號位二進(jìn)制數(shù)00011010（+26）、10011010（-26）、00101101（+45）、和10101101（-45）的反碼和補(bǔ)碼。



在計算機(jī)系統(tǒng)中，數(shù)值一律用補(bǔ)碼來表示（存儲）。
補(bǔ)碼的優(yōu)點主要有：
    使符號位能與數(shù)值位部分一起參加運算,從而簡化運算規(guī)則；
    使減法運算轉(zhuǎn)換為加法運算,從而簡化計算機(jī)中運算電路的設(shè)計；
    兩個用補(bǔ)碼表示的數(shù)相加時，如果最高位（符號位）有進(jìn)位，則進(jìn)位被舍棄；
    補(bǔ)碼轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)時正負(fù)數(shù)規(guī)則一樣 ；
    0的補(bǔ)碼是唯一的。如0的5位補(bǔ)碼是00000。

5- 幾種常見的編碼
1. 十進(jìn)制編碼
用四位二進(jìn)制碼的10 種組合表示十進(jìn)制數(shù)0~9，簡稱BCD碼(Binary Coded Decimal)。   這種編碼至少需要用四位二進(jìn)制碼元，而四位二進(jìn)制碼元可以有 16 種組合。當(dāng)用這些組合表示十進(jìn)制數(shù)0~9時， 有六種組合不用。由 16 種組合中選用 10 種組合。
8421BCD碼是最基本和最常用的BCD碼， 它和四位自然二進(jìn)制碼相似， 各位的權(quán)值為8、 4、 2、 1， 故稱為有權(quán)BCD碼。和四位自然二進(jìn)制碼不同的是， 它只選用了四位二進(jìn)制碼中前 10 組代碼，即用0000~1001分別代表它所對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)， 余下的六組代碼不用。
下表為其他常用BCD碼，但在PLC中一般BCD碼僅指8421碼。


2. 格雷碼(Gray Code)
格雷碼又稱循環(huán)碼。每一位的狀態(tài)變化都按一定的順序循環(huán)。如果從0000開始，最右邊一位的狀態(tài)按0110順序循環(huán)變化，右邊第二位的狀態(tài)按00111100順序變化，右邊第三位按0000111111110000順序循環(huán)變化。
它的特點是：自右向左，每一位狀態(tài)狀態(tài)中連續(xù)的0、1數(shù)目增加一倍；編碼順序依次變化時，相鄰兩個代碼之間只有一位發(fā)生變化。
格雷碼消除了隨機(jī)取數(shù)時出現(xiàn)重大錯誤的可能，其反射和自補(bǔ)特性使得對其進(jìn)行求反操作也非常方便，所以，格雷碼屬于一種可靠性編碼，是一種錯誤最小化的編碼方式，因此格雷碼在通信和測量技術(shù)中得到廣泛應(yīng)用。工控行業(yè)中格雷碼的典型應(yīng)用是絕對值編碼器。


二進(jìn)制格雷碼(GRY)與自然二進(jìn)制碼(BIN)的互換：
①自然二進(jìn)制碼轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制格雷碼
自然二進(jìn)制碼轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制格雷碼，其法則是保留自然二進(jìn)制碼的最高位作為格雷碼的最高位，而次高位格雷碼為二進(jìn)制碼的高位與次高位相異或，而格雷碼其余各位與次高位的求法相類似。


3. 美國信息交換標(biāo)準(zhǔn)代碼（ASCⅡ）
ASCII碼是一組7位二進(jìn)制代碼，主要用于表示各種字符。ASCII碼共128個，其中包括表示0~9的十個代碼，表示大、小英文字母的52個代碼，32個表示各種符號的代碼及34個控制碼。它可以用于通訊信息的傳輸和控制。

謝謝。學(xué)習(xí)了。

學(xué)習(xí)，謝謝！版主辛苦了

          

學(xué)習(xí)了，下面例題中好像少了乘號。3- 不同數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換
1. 其它進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制
方法是：將其它進(jìn)制按權(quán)位展開，然后各項相加，就得到相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。
例1： N=（10110.101）B=（？）D
按權(quán)展開N=1*24+0*23+1*22+1*21+0*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3
         =16+4+2+0.5+0.125
=（22.625）D
例2： N=（532.8）H=（？）D
按權(quán)展開N=5*162+3*161+2*160+8*16-1
         =1280+48+2+0.5
=（1330.5）D

好貼要頂一下

引用

引用第7樓feng-xing于2013-04-03 19:03發(fā)表的  :
學(xué)習(xí)了，下面例題中好像少了乘號。3- 不同數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換
1. 其它進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制
方法是：將其它進(jìn)制按權(quán)位展開，然后各項相加，就得到相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。
例1： N=（10110.101）B=（？）D
按權(quán)展開N=1*24+0*23+1*22+1*21+0*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3
.......

這應(yīng)該用圖片傳上來，實際應(yīng)該是n次方，請注意：
例1： N=（10110.101）B=（？）D
按權(quán)展開N=1*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰+1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3
         =16+4+2+0.5+0.125
=（22.625）D
例2： N=（532.8）H=（？）D
按權(quán)展開N=5*16²+3*16¹+2*16⁰+8*16^-1
         =1280+48+2+0.5
=（1330.5）D

很實用的基礎(chǔ)知識，學(xué)習(xí)了。謝謝！

非常感謝，我頂一下